2026 高考数学 · 全国一卷 · 刚考完

第19题 17分压轴大题深度解析

函数 × 集合 × 不等式证明 —— 全卷最难题，考察数学抽象与逻辑推理核心素养

难度评级 ★★★★★ 17 分

题原题再现

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = 2^{x}$。对任意 $x_0 \in \mathbf{R}$，定义集合 $$D(x_0) = \left\{\, d \in \mathbf{R} \mid f(x_0 + d) > f(x_0) \,\right\}$$

（1）

若当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = 1 - x$，求 $D(-1)$。

（2）

若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x) \leq f(2x)$，且 $x_1 \neq x_2$，证明：$D(x_1) \subseteq D(x_2)$。

（3）

设 $f(x)$ 满足：① $f(x) \leq f(3x)$；② 当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) < f(0)$。
（ⅰ）证明：$f(0) \geq 1$；
（ⅱ）证明：$f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 单调递增。

1第（1）问解析

思路：由 $f(x) = 1-x$（$x \geq 0$），需要确定 $f$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的表达式。
注意到题设条件只给出了 $x \geq 0$ 时的表达式，而 $D(-1)$ 的计算涉及 $f(-1+d)$ 与 $f(-1)$。
当 $d$ 使得 $-1+d \geq 0$（即 $d \geq 1$）时，$f(-1+d) = 1-(-1+d) = 2-d$，而 $f(-1)$ 需另行确定。关键观察：题目第（1）问是在 $f(x)=1-x$（$x \geq 0$）条件下，直接考察 $D(-1)$。当 $d > 0$ 时 $-1+d$ 可正可负。

核心结论：$D(-1) = (-\infty, 0)$

直觉理解：$f(x)=1-x$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，从 $x_0=-1$ 出发，向正方向移动（$d>0$）时函数值只会减小或不变，只有向负方向移动（$d<0$）才可能使函数值增大。

2第（2）问思路

条件分析：

$f$ 为奇函数 $\Rightarrow$ $f(-x) = -f(x)$，特别地 $f(0)=0$
$f(x) \leq f(2x)$ 对一切 $x \in \mathbf{R}$ 成立

第一步：利用奇性推导对称关系。 取 $x < 0$，令 $t = -x > 0$，则 $f(-t) \leq f(-2t)$，即 $-f(t) \leq -f(2t)$，亦即 $f(2t) \leq f(t)$。结合 $f(t) \leq f(2t)$，得 $f(t) = f(2t)$ 对一切 $t > 0$ 成立。 第二步：建立 $D(x)$ 的统一结构。 由 $f(x) = f(2x)$ 可推出 $f(x) = f(2^n x)$ 对一切 $n \in \mathbf{Z}$ 成立。

证明方向：证明 $D(x)$ 与 $x$ 的具体取值无关（或仅依赖符号），从而 $D(x_1) = D(x_2)$，自然有 $D(x_1) \subseteq D(x_2)$。

3第（3）问思路

（ⅰ）证明 $f(0) \geq 1$： 由条件②，当 $0 < x < 1$ 时 $f(x) < f(0)$。由条件①，$f(x) \leq f(3x)$。取 $x \in (0, 1/3)$，则 $3x \in (0,1)$，故 $f(3x) < f(0)$，又 $f(x) \leq f(3x)$，所以 $f(x) < f(0)$（与条件②一致）。取 $x = 0$：$f(0) \leq f(0)$（平凡）。关键在于利用 $x \geq 0$ 时 $f(x)=2^{x}$，代入 $x=0$ 得 $f(0)=2^{0}=1$，故 $f(0) \geq 1$ 成立。
（ⅱ）证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增： 需证：对任意 $0 < x_1 < x_2$，有 $f(x_1) < f(x_2)$。利用 $f(x) \leq f(3x)$ 的伸缩不等式，结合 $f(x) < f(0)$（$x \in (0,1)$）和 $f(0) \geq 1$ 的结论，通过反证法或构造序列完成证明。

命题意图：本题考察数学抽象（定义新概念 $D(x_0)$）、逻辑推理（利用函数性质进行不等式放缩）和数学运算三大核心素养，是典型的新定义压轴题风格。

策考场策略

时间分配建议：本题 17 分，建议用时 25-30 分钟。

第（1）问（4-5分）：基础送分题，5分钟内拿下。理解 $D(x_0)$ 的定义是关键。
第（2）问（5-6分）：中等难度。奇函数性质 + 伸缩不等式的组合是常见套路。
第（3）问（6-7分）：真正的压轴。需要综合运用反证法、递推/迭代思想。

得分策略：即使无法完成第（3）问的全部证明，写出关键步骤（如 $f(0) \geq 1$ 的证明）也能获得 10+ 分。

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